Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Căn

     
Phương trình cất căn – Bất phương trình cất căn

Các dạng phương trình cất căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán mở ra nhiều trong những kì thi học tập kì, thi tuyển chọn sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Bạn đang xem: Cách giải bất phương trình chứa căn

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, những em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Bề ngoài chung để giải phương trình, bất phương trình đựng căn bậc 2

Nguyên tắc bình thường để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Mặc dù nhiên, để bảo đảm an toàn việc bình phương này cho họ một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt mọi không âm.

Do đó, về phiên bản chất, họ lần lượt kiểm soát 2 trường vừa lòng âm, và không âm của các biểu thức (thường là một vế của phương trình, bất phương trình vẫn cho).



2. Các dạng phương trình cất căn, bất phương trình chứa nền tảng gốc rễ bản

Có khoảng chừng 4 dạng phương trình đựng căn, bất phương trình đựng căn cơ phiên bản đó là


*

3. Biện pháp giải phương trình chứa căn, giải pháp giải bất phương trình cất căn

Chi tiết về cách thức giải những dạng phương trình, bất phương trình cất căn, xin mời thầy cô và các em học viên theo dõi trong video sau đây.


4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình đựng căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình


$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$


Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với


<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm nhất $x = 3$.


Ví dụ 2. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình có nghiệm độc nhất vô nhị $x=4$.


Ví dụ 3. Giải phương trình


Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với


<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị $x = 3$.


Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$


Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm độc nhất vô nhị $x = 1$.


Ví dụ 5.

Xem thêm: Trong Câu Lệnh Điều Kiện Trong Câu Lệnh Điều Kiện Thường Là Gì ?

Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$


Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm nhất $x = frac-86$.


Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$


Hướng dẫn. Bất phương trình đang cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. & left( 2 ight)endarray ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$

Lấy phù hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số sau cùng là $S = left< 1;frac145 ight)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với

$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign và 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình đang cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Xem thêm: Loại Thực Vật Nào Thích Hợp Cho Đất Mặn, Đất Mặn Thích Hợp Trồng Những Loài Cây Nào

Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$

Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$

Với điều kiện trên, bất phương trình sẽ cho tương đương với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>

Kết phù hợp với điều kiện ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.

Xem các ví dụ không giống nữa trên đây: Phương pháp thay đổi tương đương giải phương trình chứa căn