Công thức tính nhanh thể tích tứ diện

     

Bài viết này chuyensuamayphotocopy.vn tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt quan trọng hay gặp

https://www.chuyensuamayphotocopy.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình bày công thức bao quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kể khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Vấn đề ghi nhớ những công thức này giúp những em giải quyết và xử lý nhanh một số trong những dạng bài xích khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT đất nước 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một số trong những công thức nhanh hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc xem thêm khoá combo X vày chuyensuamayphotocopy.vn desgin tại đây:https://www.chuyensuamayphotocopy.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong số đó <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ và P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đông đảo cạnh $a,$ ta có $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã mang lại là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện hầu như cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện đầy đủ là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ song một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta gồm $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần hầu như (các cặp cạnh đối khớp ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ call $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng giải pháp từ điểm $A$ mang đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta tất cả $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ tất cả $CD=8$ cùng theo công thức đường trung con đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên vì vậy $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối tứ diện gần hồ hết có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn lời giải C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ bao gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta có $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá chỉ trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt mong $(S_1),(S_2)$ có cùng chổ chính giữa $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ nằm ở $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ nằm trên $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo thứ tự là khoảng cách từ trọng tâm $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$

Ta bao gồm $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ với $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ và $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy cùng góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ cùng $CD$ bằng $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai phương diện kề nhau

*

Ví dụ 1: mang đến khối chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai mặt phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bởi $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $a^3.$

B.

Xem thêm: Toán Lớp 4 Bài 28 Vẽ Hai Đường Thẳng Song Song Song, Toán Lớp 4 Bài 28 Vẽ Hai Đường Thẳng Song Song

$fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải bỏ ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta bao gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải đưa ra tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta gồm $left{ egingathered CB ot ba hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot da hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết vừa lòng (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ cạnh bên $SA$ vuông góc cùng với đáy với góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 4: đến tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác rất nhiều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích s tam giác $A"BC$ bởi $4,$ khoảng cách từ $A$ mang lại $BC$ bởi $3,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $left( A"BC ight)$ với $left( A"B"C" ight)$ bởi $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng

A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$

Giải. Áp dụng cách làm tính thể tích tứ diện mang lại trường đúng theo biết góc và ăn diện tích của hai mặt

$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$

$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn lời giải B.

Công thức 6:Mở rộng đến khối chóp có diện tích mặt mặt và khía cạnh đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện lúc biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi đó $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Khí Hậu Của Môi Trường Nhiệt Đới Là Gì? Đặc Điểm Khí Hậu Của Môi Trường Nhiệt Đới Là

Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính những góc trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc khởi nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn câu trả lời B.

*