RÚT GỌN LƯỢNG GIÁC LỚP 10

     
Phân dạng bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

Sử dụng mặt đường tròn lượng giác, họ có những khái niệm và kết quả sau:

SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

*

1.2. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt

Bạn nên nhớ cực hiếm lượng giác của các góc quan trọng đặc biệt $ 0,dfracpi6,dfracpi4,dfracpi3,dfracpi2,pi $ như trong bảng sau:

*


SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

1.3. Quý giá lượng giác của những cung gồm liên quan đặc trưng (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn hèn chẵn $ pi $ thì sin-cos…


SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

$cosleft( fracpi 2-a ight)=sin a$

$ an left( fracpi 2-a ight)=cot a$

$cot left( fracpi 2-a ight)= an a$Phụ chéo4$left( pi +a ight)$ cùng $a$Sai không giống $pi $$ an (pi +a)= an a$

SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

$cot (pi +a)=cot a$


$cos(pi +a)=-cos a$Khác $pi $ tan, cot5$left( fracpi 2+a ight)$ cùng $a$Hơn $fracpi 2$$sin left( fracpi 2+a ight)=cos a$



SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

1.4. Những công thức lượng giác cơ bản

$ an x=dfracsin xcos x, cot x=dfraccos xsin x, an xcot x=1 $$ sin^2x+cos^2x=1, 1+ an^2x=dfrac1cos^2 x, 1+cot^2x=dfrac1sin^2x $

1.5. Bí quyết cộng

1.6. Bí quyết nhân với hạ bậc

1.7. Công thức chuyển đổi tổng thành tựu và tích thành tổng

2. Những dạng toán và ví dụ điển hình

Ví dụ 1.

Bạn đang xem: Rút gọn lượng giác lớp 10

Biểu diễn các cung gồm số đo: $ dfracpi4,dfrac5pi4,dfracpi4+kpi,dfracpi6,dfrac13pi6,dfracpi3+kdfrac2pi3,60^circ+k120^circ $ trên tuyến đường tròn lượng giác.


Ví dụ 2. Tính $ an 300^circ,sin(-780^circ) $


Hướng dẫn.$ an 300^circ=-sqrt3,sin(-780^circ)=-dfracsqrt32. $


SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức

$ A=5 an540^circ+2cos1170^circ+4sin990^circ-3cos540^circ. $$ B= 3sindfrac25pi6-3 andfrac13pi4+2cosdfrac14pi3$$ C=dfracsin(-234^circ)-cos216^circsin144^circ-cos216^circcdot an36^circ $$ D=sin(x+pi)-cos(dfracpi2-x)+cot(2pi-x)+ an(dfrac3pi2-x) $

Hướng dẫn.$ A=-1, quad B=-dfrac12, quad C=1,quad D=-2sin x $


SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Ví dụ 4. chứng tỏ các đẳng thức

$ sin^4x+cos^4x=1-2sin^2xcos^2x $$ sin^6x+cos^6x=1-3sin^2xcos^2x $$ dfrac1-cos xsin x=dfracsin x1+cos x $$ dfrac1+cot x1-cot x=dfrac an x+1 an x-1 $

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

$ A=( an x+cot x)^2-( an x-cot x)^2 $$ B=(1-sin^2x)cot^2x+1-cot^2x $$ C= an x+dfraccos x1+sin x $$ D=dfraccos x an xsin^2x-cot xcos x $

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=sin^2x$, $C=dfrac1cos x$, $D=sin x $

Ví dụ 6. minh chứng các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $

$ A=dfraccot^2x-cos^2xcot^2x $$ B=dfrac(1- an^2x)^24 an^2x $$ C=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x) $

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. mang lại $ cosalpha=-dfrac35 $ và $ 180^circSĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

Ví dụ 8. đến $ analpha=dfrac34 $ cùng $ piBài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

a) $sin alpha = frac23, m fracpi 2 b) $cos alpha = frac45, m frac3pi 2 c) $cos alpha = – frac57, m – pi d) $ an alpha = frac43, m pi e) $cot alpha = – sqrt 3 , m – frac3pi 2 f) $ an alpha = frac73, m 0 Bài 2. cho $ an alpha = 3$, tính giá chỉ trị những biểu thức

a) $A = frac2sin alpha – 3cos alpha 4sin alpha + 3cos alpha $b) $B = frac3sin alpha – 5cos alpha 5sin ^3alpha – 4cos ^3alpha $.

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Bài 3. cho $cot alpha = frac35$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = fracsin alpha + cos alpha sin alpha – cos alpha $b) $B = fracsin alpha .cos alpha sin ^2alpha – cos ^2alpha $c) $C = frac3sin ^2alpha + 12sin alpha cos alpha + 10cos ^2alpha 3sin ^2alpha + sin alpha cos alpha – 2cos ^2alpha $.

Bài 4. Tính giá chỉ trị những biểu thức lượng giác sau:

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

a) $A = fracsin ^2alpha – cos ^2alpha sin ^2alpha – 2cos ^2alpha $ biết $cot alpha = 3$.b) $A = frac2sin ^2alpha – cos ^2alpha – 1 – 2sin ^2alpha + 3cos ^2alpha $ biết $ an alpha = frac14$.c) $C = fraccot alpha + an alpha cot alpha – an alpha $ biết $sin alpha = frac35, m 0 d) $D = fracsin alpha + 3cos alpha an alpha $ biết $sin alpha = – frac45, m frac3pi 2 e) $E = frac4cot alpha + 31 – 5sin alpha $ biết $cos alpha = – frac13, m pi f) $F = fracsin alpha – 3cos alpha cos alpha – 2sin alpha $ biết $ an alpha = 3$.

Bài 5. Cho $ an alpha + cot alpha = m$. Hãy tính giá bán trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) $ an ^2alpha + cot ^2alpha $b) $left| an alpha – cot alpha ight|$c) $ an ^3alpha + cot ^3alpha $

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Bài 6. mang đến $sin alpha + cos alpha = m$. Hãy tính:

a) $sin alpha cos alpha $b) $left| sin alpha – cos alpha ight|$c) $sin ^3alpha + cos ^3alpha $d) $sin ^4alpha + cos ^4alpha $ e) $sin ^6alpha + cos ^6alpha $

Dùng phương pháp cộngBài 8. Tính giá trị những biểu thức lượng giác sau:

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

a) $cos left( x + fracpi 3 ight)$, biết $sin x = frac1sqrt 3 $ và $0 b) $ an left( x – fracpi 4 ight)$, biết $cos x = – frac13$ với $fracpi 2 c) $cos left( a + b ight), m sin left( a – b ight),$ biết $sin a = frac45, m 0^0 Bài 9.

a) mang đến $sin a = – frac1213$, cùng với $pi b) mang lại $sin a = frac513, m cos b = frac35$ với $fracpi 2 c) mang đến $ an a = frac12, m sinb = frac35$ với $0 SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Bài 10. đến $ an alpha = – frac158$ cùng với $frac3pi 2 b) Tính $sin left( alpha – 7pi ight), m cos left( alpha + frac2pi 3 ight), m cot left( frac3pi 4 – alpha ight)$.

Bài 11. mang đến $sin alpha = frac817, m sineta = frac1517, m 0 SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Dùng cách làm nhân

Bài 12. Tính $sin 2a, m cos 2a, m an 2a$, biết

a) $sin a = – 0,6$ và $pi b) $sin a = frac35$ với $fracpi 2 c) $cos a = – frac513$ cùng $fracpi 2 d) $ an a = frac43$ với $pi e) $ an a = 2$.f) $cos a = frac14$ với $frac3pi 2 g) $sin a + cos a = frac12$ cùng $frac3pi 4 SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Bài 13. cho $cos a = – frac513$ với $pi Bài 14. mang lại $sin 2a = frac45 m left( {fracpi 4 bài bác 15. Cho $sin 2a = – frac59 m left( {fracpi 2 SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Bài 16. Cho $cos 2a = frac35 m left( {frac3pi 4 Bài 1. Rút gọn những biểu thức sau (không dùng máy tính):

a) $A = sin 170^0.cos 80^0 + cos 10^0.sin 80^0.$b) $B = fraccos left( – 288^0 ight)cot 72^0 an left( – 162^0 ight)sin 108^0 – an 18^0$.c) $C = fracsin left( – 243^0 ight) + sin 126^0sin 144^0 – cos 126^0. an 36^0$.d) $D = fracleft( cot 44^0 + an 226^0 ight).cos 406^0cos 316^0 – cot 72^0.cot 18^0$.

Xem thêm: Soạn Bài Từ Láy Soạn Văn Lớp 7, Soạn Bài Từ Láy

SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

Bài 2. Rút gọn những biểu thức sau ( ko dùng laptop ):

a) $A = sin ^2left( 180^0 – x ight) + an ^2left( 180^0 – x ight). an ^2left( 270^0 + x ight) + sin left( 90^0 + x ight).cos left( x – 360^0 ight)$.b) $B = fraccos left( x – 90^0 ight)sin left( 180^0 – x ight) + frac an left( x – 180^0 ight)cos left( x + 180^0 ight)sin left( 270^0 + x ight) an left( 270^0 + x ight)$.c) $C = fracsin 20^0.sin 30^0.sin 40^0.sin 50^0.sin 60^0.sin 70^0cos 10^0.cos 50^0.$d) $D = an 1^0. an 2^0. an 3^0….. an 88^0. an 89^0.$e) $E = cos fracpi 7 + cos frac2pi 7 + …. + cos frac6pi 7$.

Bài 3. Rút gọn những biểu thức sau:

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

a) $A = cos left( x – fracpi 2 ight) + sin left( x – pi ight)$.b) $B = cos left( pi – x ight) + sin left( x + fracpi 2 ight)$.c) $C = cos left( fracpi 2 – x ight) + sin left( fracpi 2 – x ight) – cos left( fracpi 2 + x ight) – sin left( fracpi 2 + x ight)$.d) $D = cos left( frac3pi 2 – x ight) – sin left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( x – frac7pi 2 ight) – sin left( x – frac7pi 2 ight).$e) $E = cos left( fracpi 2 – x ight) + cos left( pi – x ight) + cos left( frac3pi 2 – x ight) + cos left( 2pi – x ight).$f) $F = sin left( frac5pi 2 – x ight) – cos left( frac13pi 2 – x ight) – 3sin left( x – 5pi ight) – 2sin x – cos x.$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( pi – x ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( pi + x ight).cot left( fracpi 2 – x ight)$.b) $B = cos left( fracpi 2 + x ight) + cos left( 2pi – x ight) + cos left( 3pi + x ight)$.c) $C = cot left( x – 4pi ight)cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 6pi ight) – 2sin left( x – pi ight)$.d) $C = sin left( x + 5pi ight) – cos left( fracpi 2 – x ight) + cot left( 4pi – x ight) + an left( fracpi 2 – x ight)$.e) $E = cot left( x + 5pi ight).cos left( x – frac3pi 2 ight) + cos left( x + 4pi ight) – 2cos left( x + fracpi 2 ight).$f) $F = cos left( x + 5pi ight) – 2sin left( frac11pi 2 – x ight) – sin left( frac11pi 2 + x ight).$

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Công thức lượng giác cơ bảnBài 5. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = left( 1 – sin ^2a ight)cot ^2a + 1 – cot ^2a.$ b) $B = cos ^4a + sin ^2a.cos ^2a + sin ^2a.$c) $C = fraccos ^2x – cot ^2xsin ^2x – an ^2x$ d) $D = fracleft( sin a + cos a ight)^2 – 1cot a – sin a.cos a$.e) $E = left( 1 + cot a ight).sin ^3a + left( 1 + an a ight).cos ^3a$ f) $F = fracsin ^2x + 2cos ^2x – 1cot ^2a$.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

a) $A = 1 – cos ^2a + cot ^2a.sin ^2a$.b) $B = frac2cos ^2a – 1sin a + cos a$.c) $C = cot a – fraccos asin a + 1$d) $D = fracsin a + 1cos a.left< 1 – left( frac1 – sin acos a ight)^2 ight>.$e) $E = sqrt left( 1 + cot a ight).sin ^2a + left( 1 + an a ight).cos ^2a $.

Bài 7. chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào đổi thay $x$.

a) $A = 3.cos ^2x.left( 1 + an ^2x ight) – sin ^2xleft( 1 + cot ^2x ight)$b) $B = fracsin ^4x + cos ^4x – 1sin ^2x.cos ^2x$.c) $C = fraccot ^2x – cos ^2xcot ^2x + fracsin x.cos xcot x$d) $D = frac2 an x – 1 + fraccot x + 1cot x – 1$.e) $E = 3left( sin ^4x + cos ^4x ight) – 2left( sin ^6x + cos ^6x ight)$ .f) $F = left( an x + cot x ight)^2 – left( an x – cot x ight)^2$.g) $G = sqrt sin ^4x + 4cos ^2x + sqrt cos ^4x + 4sin ^2x $ .h) $H = 2cos ^4x – sin ^4x + sin ^2x.cos ^2x + 3sin ^2x$.

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Công thức cộng, nhân, thay đổi đổi

Bài 8. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = sin left( a + b ight) + sin left( fracpi 2 – a ight).sin left( – b ight)$b) $B = cos left( fracpi 4 – a ight).cos left( fracpi 4 + a ight) + frac12sin ^2a$c) $C = cos left( fracpi 2 – a ight).sin left( fracpi 2 – b ight) – sin left( a – b ight)$d) $D = cos a.cos left( fracpi 3 – a ight).cos left( fracpi 3 + a ight)$.e) $E = cos left( x + 17^0 ight).cos left( 13^0 – x ight) – sin left( 17^0 + x ight).sin left( 13^0 – x ight)$.f) $F = sin left( 2x + fracpi 3 ight)cos left( x – fracpi 6 ight) – cos left( 2x + fracpi 3 ight).cos left( frac2pi 3 – x ight)$.

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

Bài 9. Rút gọn những biểu thức sau:

a) $A = fracsin left( x + fracpi 4 ight) – cos left( x + fracpi 4 ight)sin left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 4 ight)$b) $B = fraccot x – an xcos 2x$.c) $C = fracsin a + sin 3a + sin 5acos a + cos 3a + cos 5a$d) $D = fracsin a.cos 5a – sin 5a.cos 3acos 2a$.e) $H = sin xleft( 1 + 2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x ight)$.

Bài 10. Rút gọn những biểu thức:

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

a) $A = fracsin a + sin 2a1 + cos a + cos 2a$b) $B = frac4sin ^2a1 – cos ^2fraca2$c) $C = frac1 + cos a – sin a1 – cos a – sin a$d) $D = frac1 + sin a – 2sin ^2left( 45^0 – fraca2 ight)4cos fraca2$.e) $E = frac an 2a an 4a – an 2a$f) $F = frac3 – 4cos 2a + cos 4a3 + 4cos 2a + cos 4a$g) $G = sqrt 1 + sin a – sqrt 1 – sin a , m 0 bài 11. Chứng minh những biểu thức sau không dựa vào vào biến $x$.

a) $A = sin 8x + 2cos ^2left( 45^0 + 4x ight)$b) $B = cos x + cos left( x + frac2pi 3 ight) + cos left( x + frac4pi 3 ight)$c) $C = cos left( x – fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 4 ight) + cos left( x + fracpi 6 ight).cos left( x + frac3pi 4 ight)$d) $D = sin 2x – 2sin left( x – 15^0 ight).cos left( x + 15^0 ight)$.e) $E = cos ^2x + sin left( x + 30^0 ight).sin left( x – 30^0 ight)$

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không dựa vào vào biến hóa $x$.

a) $A = sin 6x.cot 3x – cos 6x$b) $B = left( cot fracx3 – an fracx3 ight). an frac2x3$c) $C = fraccos ^3x – cos 3xcos x + fracsin ^3x + sin 3xsin x$d) $D = sin ^2x + sin ^2left( x + frac2pi 3 ight) + sin ^2left( frac2pi 3 – x ight)$e) $E = cos ^2left( a – x ight) + cos ^2x – 2cos a.cos x.cos left( a – x ight)$f) $F = left< an left( 90^0 – x ight) – cot left( 90^0 + x ight) ight>^2 – left< cot left( 180^0 + x ight) + cot left( 270^0 + x ight) ight>^2$.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc $alpha $ ta có:

SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

a) $sin left( alpha + fracpi 2 ight) = cos alpha $b) $cos left( alpha + fracpi 2 ight) = – sin alpha $c) $ an left( alpha + fracpi 2 ight) = – cot alpha $d) $cot left( alpha + fracpi 2 ight) = – an alpha $.

Bài 2. chứng tỏ các đẳng thức:

a) $ an ^2alpha – sin ^2alpha = an ^2alpha .sin ^2alpha $b) $ an alpha + fraccos alpha 1 + sin alpha = frac1cos alpha $c) $fracsin ^3alpha + cos ^3alpha sin alpha + cos alpha = 1 – sin alpha .cos alpha $d) $fracsin ^2alpha – cos ^2alpha 1 + 2sin alpha .cos alpha = frac an alpha – 1 an alpha + 1$e) $sin ^4alpha + cos ^4alpha – sin ^6alpha – cos ^6alpha = sin ^2alpha .cos ^2alpha $f) $2left( sin ^6alpha – cos ^6alpha ight) + 1 = 3left( sin ^4alpha + cos ^4alpha ight)$g) $sin ^3alpha left( 1 + cot alpha ight) + cos ^3alpha left( 1 + an alpha ight) = sin alpha + cos alpha $

SĂN SIÊU SALE tức thì SHOPEE - TIKI

Bài 3. minh chứng các đẳng thức sau:

a) $frac1 + cos ^2alpha 1 – sin ^2alpha – an alpha .cot alpha = frac1cos ^2alpha $ b)$fracsin alpha + cos alpha – 11 – cos alpha = frac2cos alpha sin alpha – cos alpha + 1$c) $fracsin alpha sin alpha + cos alpha – fraccos alpha cos alpha – sin alpha = frac1 + cot ^2alpha 1 – cot ^2alpha $d) $fracsin ^2alpha sin alpha – cos alpha – fracsin alpha + cos alpha an ^2alpha – 1 = sin alpha + cos alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhânBài 4. chứng minh các đẳng thức sau

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

a) $cos x.cos left( fracpi 3 – x ight).cos left( fracpi 3 + x ight) = frac14cos 3x$b) $fracsin 2x + sin x1 + cos 2x + cos x = an x$c) $sin 5x – 2sin xleft( cos 4x + cos 2x ight) = sin x$d) $frac1 + cos x – sin x1 – cos x – sin x = – cot fracx2$e) $fracsin 2x1 + cos 2x.fraccos x1 + cos x = an fracx2$f) $frac3 – 4cos 2x + cos 4x3 + 4cos 2x + cos 4x = an ^4x$

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $sin left( a + b ight).sin left( a – b ight) = sin ^2a – sin ^2b$b) $frac4 an xleft( 1 – an ^2x ight)left( 1 + an ^2x ight)^2 = sin 4x$c) $frac2sin left( a + b ight)cos left( a + b ight) + cos left( a – b ight) = an a + an b$d) $frac1 + an ^4x an ^2x + cot ^2x = an ^2x$e) $sin 2x – sin 4x + sin 6x = 4sin x.cos 2x.cos 3x$f) $ an 3x – an 2x – an x = an x. an 2x. an 3x$g) $fraccos x.sin left( x – 3 ight) – sin x.cos left( x – 3 ight)cos left( 3 – fracpi 6 ight) – frac12sin 3 = – frac2 an 3sqrt 3 $

SĂN SIÊU SALE ngay lập tức SHOPEE - TIKI

Dạng 4. Chứng tỏ đẳng thức lượng giác vào tam giác

Bài 1. mang đến $Delta ABC$. Chứng tỏ rằng:

a) $sin left( A + B ight) = sin C$b) $cos left( A + B ight) = – cos C$c) $sin fracA + B2 = cos fracC2$d) $cos fracA + B2 = sin fracC2$e) $ an fracA + B – C2 = cot C$.

Bài 2. đến tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

SĂN SIÊU SALE ngay SHOPEE - TIKI

a) $sin A = sin B.cos C + sin C.cos B$b) $cos fracA2 = sin fracB2.cos fracC2 + sin fracC2.cos fracB2$c) $sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C$d) $cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin fracA2.sin fracB2.sin fracC2$.

Xem thêm: Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Tết Nguyên Đán, Trắc Nghiệm Vui Về Ngày Tết

Bài 3. mang lại tam giác $ABC$. Chứng tỏ rằng:

a) $cos B.cos C – sin B.sin C + cos A = 0$.b) $sin A + sin B + sin C = 4cos fracA2.cos fracB2.cos fracC2$.c) $cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 1 – 4cos A.cos B.cos C$.d) $ an fracA2. an fracB2 + an fracB2. an fracC2 + an fracC2. an fracA2 = 1$